El alto contenido matemático de la geometría y su
gran acervo de conocimientos se desarrollan en la magna Grecia, donde
Tales, Pitágoras y Euclides la convierten en el estudio del orden
espacial por medio de la medición de la relación de las formas de las
figuras geométricas. Tales vive en Egipto donde aprende todos sus
conocimientos; los sumos sacerdotes, que le habían enseñado gran parte
de sus secretos, se asombran cuando él mide, a partir de la sombra
proyectada, la altura de la Pirámide de Keops y predice un eclipse
solar.
Para Platón, la geometría y los números son la quinta
esencia del lenguaje filosófico y son el ideal simbólico de la verdad
espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela: “Nadie entre
aquí si no es geómetra”; de ahí que se le atribuya a este filósofo la
frase: “Dios siempre hace geometría”. Cuando se habla del dios geómetra,
se hace referencia a Apolo, en cuyo templo está grabada la inscripción:
Gnothi séauton, o sea, conócete a ti mismo, que evoca a la gnosis y al
conocimiento adquirido por la vía de la Geometría, ya que los griegos le
otorgan a este hijo de Zeus el dominio de las ciencias y las artes.
Fue Grecia, heredera de las culturas egipcia y mesopotámica, la que
formaliza los conocimientos de estas civilizaciones y la que da el paso
abstracto de considerar a los objetos como entes ideales, que pueden ser
manipulados mentalmente con la sola ayuda de la regla y el compás;
también en este país aparece la demostración como justificativo de la
veracidad del conocimiento humano.
En la Escuela Pitagórica, la
geometría, junto con las demás ramas de la matemática, es considerada
como una preparación básica, indispensable para acceder al conocimiento
superior. La figura de Pitágoras juega un rol central, pues eleva el
concepto de número a la categoría de elemento primigenio, algo que hasta
en la actualidad se da de manera explícita e implícita dentro de la
matemática y la física. Los pitagóricos convierten así a la geometría en
el ideal de su doctrina y consideran a la demostración como la única
vía para el establecimiento de la verdad. Con ayuda de la geometría,
Eratóstenes mide el tamaño de la Tierra y la distancia que la separa de
la luna; así mismo, siglos después, Arquímedes inventa la palanca y una
especie de rayo de la muerte, que concentra la luz del sol en un punto,
que hace arder a distancia las naves del enemigo.
El teorema de
Pitágoras genera la primera crisis de la matemática, pues aparecen los
números inconmensurables, o sea los números irracionales que no son el
resultado de la división de dos enteros; esta crisis es más de carácter
aritmético que geométrico. Sucede que si se da a cada cateto el valor de
uno, la hipotenusa mide raíz de dos, número que para los griegos no
existe por ser inconmensurable, y llaman a este tipo de números
irracionales porque los imaginan raros y excepcionales. Con el tiempo,
veinticuatro siglos después, Cantor demuestra que los racionales no son
ni siquiera una partícula insignificante de los irracionales.
También aparece en Grecia un problema de lógica pura: Para demostrar un
resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La
veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se
la obtiene y de la veracidad de las hipótesis. Entonces se debe partir
de hipótesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la
veracidad de la hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya
hipótesis se deberá comprobar también. Se entra, aparentemente, en un
callejón sin salida, en un proceso sin fin en el que, a su vez, cada
hipótesis se convierte en tesis a probar.
Euclides zanja esta
cuestión al proponer un sistema en el que se acepta sin demostración la
veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deduce la
tesis. Su sistema se halla sintetizado en su obra cumbre, “Los
Elementos”, modelo axiomático deductivo que se basa en cinco postulados y
definiciones precisas, que constituyen toda la geometría y la
aritmética de entonces. Con Euclides se cierra definitivamente la
geometría griega y, por extensión, la del mundo antiguo y medieval.
A pesar de que veracidad del quinto postulado está fuera de toda duda,
trae desde sus inicios el problema de si puede ser deducido de los otros
cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales
trabajos en la geometría va a consistir en determinar si el quinto
postulado es dependiente de los otros cuatro, o sea si puede ser
considerado un teorema deducible de los otros. Hasta la alta Edad Media
en las escuelas y en las universidades se enseña “Los Elementos”, pero
aunque nunca se llega a dilucidar si el quinto postulado es o no
independiente de los otros cuatro, se le dan nuevas formulaciones
equivalentes. Este postulado es posteriormente sintetizado y sostiene
que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha
recta.
Además de la disputa sobre si el quinto postulado es o
no un teorema, la posteridad hereda tres problemas que la geometría
griega fue incapaz de resolver: la duplicación del cubo, la trisección
del ángulo y la cuadratura del círculo. Es importante recalcar que estos
se deben resolver con el empleo de la regla y el compás como
instrumentos únicos. Hay que añadir que la regla sólo traza rectas, no
mide distancias, y el compás sólo traza circunferencia y traslada
distancias, pero no mide ángulos, algo a lo que no estamos acostumbrados
porque con la regla y el compás usual si se lo hace.
La
leyenda cuenta que una terrible peste asola la ciudad de Atenas y que
incluso Pericles muere como consecuencia de la misma. Una delegación de
la ciudad va al oráculo de Delos para consultar qué hacer para erradicar
la mortal enfermedad. La respuesta es que hay que duplicar el altar
consagrado a Apolo, cuya forma es cúbica. Los atenienses construyen un
nuevo altar cuyas aristas son el doble de las del anterior, pero la
peste no cesa y se vuelve más mortífera. Van a consultar otra vez al
oráculo, que les advierte que el nuevo altar no es el doble de grande
sino ocho veces mayor. La trisección de un ángulo consiste en dividir un
ángulo dado en tres ángulos iguales. La cuadratura del círculo consiste
en construir un cuadrado cuya área mida exactamente la de una
circunferencia dada, o viceversa. Se cuenta que Anaxágoras intenta
resolver este problema en la celda donde está preso por explicar
fenómenos naturales que se atribuyen a los dioses. Estos tres problemas
persisten durante milenios y todo matemático los intenta resolver, por
lo que se convierten en paradigmas de lo imposible.
Gauss
deduce una geometría en la que, sin ser contradictoria, no se cumple el
quinto postulado, pero le asusta tanto el resultado que no publica su
descubrimiento. Fueron Bolyai y Lobachevsky quienes independiente y
simultáneamente dan a conocer al mundo una geometría con postulados
idénticos a los de Euclides, excepto el quinto, y postulan que por un
punto, que no pertenece a una recta, pasa un número infinito de rectas
paralelas a la misma; lo que, aunque no sea intuitivo, es perfectamente
válido desde el punto de vista de la lógica formal.
Galois, uno
de los más célebres genios del siglo XIX, muere en un duelo a los
veintiún años, pero deja en un cuaderno escrito la noche anterior la
exposición de sus ideas. En sus notas concluye que una ecuación de
quinto o mayor grado no es resoluble mediante fórmula alguna y demuestra
también que es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás
trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.
En 1862,
Lindemann demuestra que el número π (pi) es trascendente. Esto implica
que es imposible construir con sólo la regla y el compás un cuadrado de
área igual a la de un círculo dado, con lo que son resueltos los tres
problemas heredados de la antigua Grecia.
El 10 de junio de
1854, Bernhard Riemann dicta una conferencia en la Universidad de
Gotinga. El tema es: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos
de la geometría”. Su contenido se constituye en uno de los mayores
logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su antiguo
profesor, Gauss, escucha entusiasmado y es el único en capacidad de
comprenderlo.
En la primera parte de su conferencia generaliza
el concepto de superficie para cualquier número arbitrario de
dimensiones, demuestra que la geodésica es la curva que minimiza la
distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un
concepto análogo al de la recta en el plano, donde esta línea determina
la menor distancia entre dos puntos. Encuentra que existen superficies
en las que los triángulos formados por las geodésicas suman más de
ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice
al quinto postulado de Euclides.
Según Riemann, es la métrica
del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a
dos puntos, lo que determina la geometría del espacio. Por ejemplo, el
plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que con una métrica se
cumple el quinto postulado, pero, con otra métrica, como la de
Lobatchevsky, no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir mucho
tiempo para que sus ideas, avanzadas para la época, cuajen cuando
Einstein y Poincare, al mismo tiempo pero de manera independiente, las
apliquen para crear la Teoría de la Relatividad.
La gran
revolución de la geometría la realiza Félix Klein, que en 1871 descubre
que la geometría euclidiana y las no euclidianas son casos particulares
de la geometría proyectiva y que la geometría euclidiana es consistente,
o sea que no es contradictoria, si y sólo si son consistentes las
geometrías no euclidianas. El aporte más importante de Klein es el
Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de geometría. En
1872 escribe una memoria que se puede considerar, junto con la
Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides, como los puntos más
esenciales de la geometría.
El Programa de Erlangen es bastante
sencillo y trata de dar una definición formal sobre qué es geometría,
más allá de la idea intuitiva que de ella se tenga, pues hay tantas que
la pregunta es lógica, ya que está claro que no se trata del estudio de
puntos, rectas y planos. Klein da la respuesta a esta pregunta
introduciendo en la geometría el concepto de grupo, o sea un conjunto en
el que está definida una operación. Descubre que la geometría es el
estudio de las propiedades invariantes, que no cambian al aplicarles una
transformación de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen
invariantes deben tener estructura de grupo para la operación de
composición, o sea para la aplicación sucesiva de la misma
transformación al resultado de la primera. Así descubre que, por
ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes
mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, los
giros y las traslaciones).
El descubrimiento de Klein es
fundamental porque permite clasificar las geometrías, comprender cuál es
la estructura general de cada una y, por último, confirmar que el
método sintético y analítico no da geometrías distintas sino que
realmente estudia en cada caso la misma geometría, lo que pone fin a la
distinción entre ambos métodos. Klein consagra a la geometría proyectiva
como la reina de las geometrías. Con él, por primera vez, una ciencia
fue capaz de definirse a sí misma de manera rigurosa, por lo tanto, su
pensamiento constituye el punto culminante del espíritu humano.
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